前々回で「タルタリアの三角形」から抜けている数で新たな三角形を作ってみましたが、数の順序を入れ換えてみると更に面白い結果が得られます。

1^2 + 4*(1^3) = 1 + 2^2
6^2 + 8^2 + 4*(2^3) = 2 + 7^2 + 9^2
15^2 + 17^2 + 19^2 + 4*(3^3) = 3 + 16^2 + 18^2 + 20^2


そのままでは等しくなりませんが、左辺に立方数の4倍を加え、右辺に自然数を加えると等しくなります。新たに両辺に加えられた数は、「足し算の三角形」と「自乗和の三角形」の関係に似ています。

1^3 + 2^3 + 3^3 + … = (1 + 2 + 3 + …)^2

1から始まる立方数の総和は自然数の総和の自乗に等しい。これは美しい定理の一つで、歴史上たびたび再発見されています。このように隠れた部分に全体の関係が見いだされるのは興味深いことです。
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